תיבה במערכת צירים – שיעורי נקודות – בגרות קיץ 2023 מועד ב׳וקטורים 472 · שיעור 26

קיץ 2023 מועד ב׳, שאלה 1 · סעיפים א , ב

שיעור 26: תיבה במערכת צירים – שיעורי נקודות – בגרות קיץ 2023 מועד ב׳

פרק 5 – מערכת צירים במרחב (גישה אלגברית)

1נוסח השאלה

2סעיף א – שיעורי הקודקודים

3סעיף ב – שיעורי E , F , K

📄 נוסח השאלה

תיבה ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד D נמצא בראשית הצירים. הקודקודים A , C , D′ נמצאים על החלקים החיוביים של ציר ה־x, של ציר ה־y ושל ציר ה־z בהתאמה (ראו סרטוט). נתון: AD = 2 , DC = 5, נפח התיבה הוא 80.

א. (1) מצאו את שיעורי הקודקוד D′. (2) כתבו את השיעורים של הקודקודים A , B , C , C′.

📄 נוסח השאלה · המשך

נתון: הנקודה E נמצאת על המקצוע CC′ ומקיימת CE = 34CC′. הנקודה F היא אמצע המקצוע DD′. הנקודה K היא נקודת החיתוך של אלכסוני הפאה BB′C′C. הנקודה M נמצאת על הפאה AA′D′D ומקיימת: המרובע FEKM הוא מקבילית.

ב. מצאו את שיעורי הנקודות E , F , K.

סעיף א – שיעורי הקודקודים

(1) הגובה של התיבה הוא DD′. מנפח התיבה:

V = AD · DC · DD′

📐 נפח תיבה

נציב V = 80 , AD = 2 , DC = 5:

80 = 2 · 5 · DD′

80 = 10 · DD′

DD′ = 8010 = 8

📐 נפח תיבה

V = a · b · c

סעיף א – שיעורי הקודקודים · המשך

DD′ = 8010 = 8

D′ על ציר ה־z בגובה 8:

D′(0 , 0 , 8)

(2) A על ציר ה־x במרחק 2, C על ציר ה־y במרחק 5; B – הקודקוד הרביעי של הבסיס, ו־C′ נמצא 8 יחידות מעל C:

A(2 , 0 , 0)

B(2 , 5 , 0)

סעיף א – שיעורי הקודקודים · המשך

B(2 , 5 , 0)

C(0 , 5 , 0)

C′(0 , 5 , 8)

✅ פתרון סופי: (1) D′(0 , 0 , 8)
(2) A(2 , 0 , 0) , B(2 , 5 , 0) , C(0 , 5 , 0) , C′(0 , 5 , 8)

סעיף ב – שיעורי E , F , K

CC′ = (x_C′ − x_C , y_C′ − y_C , z_C′ − z_C)

📐 וקטור בין שתי נקודות

נציב C′(0 , 5 , 8) , C(0 , 5 , 0):

CC′ = (0 − 0 , 5 − 5 , 8 − 0)

CC′ = (0 , 0 , 8)

E = C + 34CC′

נציב C(0 , 5 , 0) , CC′ = (0 , 0 , 8):

📐 וקטור בין שתי נקודות

PQ = Q − P

סעיף ב – שיעורי E , F , K · המשך

נציב C(0 , 5 , 0) , CC′ = (0 , 0 , 8):

E = (0 , 5 , 0) + 34 · (0 , 0 , 8)

E = (0 , 5 , 0) + (0 , 0 , 6)

E(0 , 5 , 6)

F = (x_D + x_D′2 , y_D + y_D′2 , z_D + z_D′2)

📐 אמצע קטע

נציב D(0 , 0 , 0) , D′(0 , 0 , 8):

📐 אמצע קטע

(x₁ + x₂2 , y₁ + y₂2 , z₁ + z₂2)

סעיף ב – שיעורי E , F , K · המשך

נציב D(0 , 0 , 0) , D′(0 , 0 , 8):

F = (0 + 02 , 0 + 02 , 0 + 82)

F(0 , 0 , 4)

האלכסונים במלבן חוצים זה את זה, ולכן K הוא אמצע האלכסון BC′:

K = (x_B + x_C′2 , y_B + y_C′2 , z_B + z_C′2)

📐 אמצע קטע

נציב B(2 , 5 , 0) , C′(0 , 5 , 8):

📐 אמצע קטע

(x₁ + x₂2 , y₁ + y₂2 , z₁ + z₂2)

סעיף ב – שיעורי E , F , K · המשך

נציב B(2 , 5 , 0) , C′(0 , 5 , 8):

K = (2 + 02 , 5 + 52 , 0 + 82)

K(1 , 5 , 4)

✅ פתרון סופי: E(0 , 5 , 6) , F(0 , 0 , 4) , K(1 , 5 , 4)

📌 סיכום התשובות

סעיף א

D′(0 , 0 , 8)
A(2 , 0 , 0) , B(2 , 5 , 0) , C(0 , 5 , 0) , C′(0 , 5 , 8)

סעיף ב

E(0 , 5 , 6) , F(0 , 0 , 4) , K(1 , 5 , 4)

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא